Pünktlich zur Urlaubszeit: Mathematiker zeigen, wie Sie Ihren Koffer möglichst schlecht packen

Zwei amerikanische Forscher haben eine fast hundert Jahre alte Frage gelöst: Welche geometrische Form lässt auch bei optimaler Packung die größten Lücken? Nach jahrelanger Arbeit konnten sie eine 90 Jahre alte Vermutung darüber zumindest teilweise beweisen.

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Eine Frau versucht, ihren Koffer möglichst viel Kleidung in ihren Koffer zu zwängen, indem sie sich darauf stellt.

Die sommerliche Reisezeit wird für viele Urlauber zur widersprüchlichen Optimierungsaufgabe. Sie wollen möglichst viele Kleidungsstücke einpacken, aber auch Platz für am Urlaubsort gekaufte Klamotten lassen. Es gilt, gleichzeitig die Packmenge und den Freiraum zu maximieren.

Die beiden amerikanischen Mathematiker Thomas Hales von der Universität Pittsburgh und Koundinya Vajjha von Intel sind nun bei der Lösung eines ganz ähnlichen „Packproblems“ entscheidend vorangekommen. Sie gingen der Frage nach, welche geometrische Form eine Fläche am schlechtesten ausfüllt, also auch bei dichtest möglicher Packung die größten Lücken lässt. Einen 260 Seiten langen Beweis haben sie auf dem Preprint-Server Arxiv veröffentlicht. Die Fachwelt hat ihn noch nicht begutachtet. Aber zwei führende Mathematiker auf dem Gebiet sagten gegenüber dem amerikanischen „Quantamagazine“, dass sie angesichts des Rufs von Hales, komplexe Beweise zu führen, Vertrauen in das Ergebnis hätten.

Banale Lösungen erlauben sich die Geometrie-Experten nicht

Hales hat schon bei ähnlichen Fragen mit langen, hochkomplexen Beweisen überzeugt. So zeigte er 1997, dass ein regelmäßiges Sechseck die beste Form ist, um eine Fläche lückenlos abzudecken. Das bedeutet, dass es unter den flächendeckenden Vielecken den kleinsten Umfang bezogen auf die Fläche hat. Dies hilft zum Beispiel Bienen, mit möglichst wenig Wachs auszukommen, um ihre Waben zu bauen. Die Überlegenheit des Sechsecks scheint leicht nachweisbar, ist es aber nicht, da es sehr viele denkbare geometrische Formen gibt, Dreiecke und Quadrate sind nur zwei Beispiele.

Aber was ist mit Kacheln, die die Fläche nur unvollständig ausfüllen? Welche lässt am meisten Platz? Banale Lösungen lassen Mathematiker dabei nicht gelten. Würde man zum Beispiel Quadrate mit einem Loch in der Mitte erlauben, dann ließe sich dieses Loch einfach beliebig vergrößern, sodass nur ein beliebig dünner Rand übrig und fast die ganze Fläche frei bleibt. Um das Problem mathematisch anspruchsvoll zu machen, muss die gesuchte Kachel „konvex“ sein, das heißt, die Verbindungslinie zwischen zwei beliebigen Punkten auf ihrer Oberfläche muss vollständig auf der Kachel verlaufen. Zudem sollte sie zentralsymmetrisch sein, das heißt, gegenüberliegende Randpunkte sollten gleich weit vom Mittelpunkt entfernt liegen.